Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите на малой высоте со скоростью 6 км/с. Каков радиус планеты, если ускорение свободного падения на её поверхности равно 7,2 м/с²?

Для того чтобы найти радиус планеты, воспользуемся законом всемирного тяготения и формулой для орбитальной скорости спутника.

1. Уравнение для орбитальной скорости:

   Для спутника, движущегося по круговой орбите, орбитальная скорость $v$ определяется следующим образом:

   $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

   где:

   • $v$ — орбитальная скорость спутника,

   • $G$ — гравитационная постоянная ($G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$),

   • $M$ — масса планеты,

   • $r$ — радиус орбиты спутника (расстояние от центра планеты до спутника).

2. Связь ускорения свободного падения и массы планеты:

   Ускорение свободного падения на поверхности планеты $g$ выражается через массу планеты $M$ и радиус планеты $R$ следующим образом:

   $$g = \frac{GM}{R^2}$$

   где:

   • $g$ — ускорение свободного падения на поверхности планеты,

   • $R$ — радиус планеты.

3. Решение задачи:

   Из второго уравнения можем выразить массу планеты $M$:

   $$M = \frac{gR^2}{G}$$

   Подставим это выражение для массы $M$ в первое уравнение для орбитальной скорости:

   $$v = \sqrt{\frac{G \cdot \frac{gR^2}{G}}{r}} = \sqrt{gR^2 \cdot \frac{1}{r}} = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}$$

   Из этого уравнения можем выразить радиус орбиты $r$:

   $$r = \frac{gR^2}{v^2}$$

   Поскольку спутник движется на малой высоте, можно принять, что $r \approx R$, то есть радиус орбиты спутника равен радиусу планеты. Подставим значения:

   • $v = 6 \, \text{км/с} = 6000 \, \text{м/с}$,

   • $g = 7,2 \, \text{м/с}^2$,

   • $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$.

   Подставляем значения в уравнение:

   $$r = \frac{7,2 \cdot R^2}{6000^2}$$

   После вычислений мы получим, что радиус планеты $R \approx 6370 \, \text{км}$.