На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределён
заряд с линейной плотностью τ = 2 нКл/м. Определить напряжённость электрического поля в точке, расположенной на оси проводника и удалённой от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное половине длины этого отрезка.

Пусть длина отрезка равна \(L\). Поместим точку, в которой ищем напряжённость, в начало координат на оси проводника. Тогда ближайший конец отрезка находится на расстоянии \(L/2\), а дальний — на расстоянии \(L/2 + L = 3L/2\). Заряд распределён с линейной плотностью \(\tau = 2\text{ нКл/м} = 2 \times 10^{-9}\text{ Кл/м}\).

Напряжённость поля от бесконечно малого элемента длины \(dx\) с зарядом \(dq = \tau dx\) на расстоянии \(x\) равна \(dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\tau dx}{x^2}\). Интегрируем по всей длине отрезка:

\[ E = \int_{L/2}^{3L/2} \frac{\tau}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dx}{x^2} = \frac{\tau}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{L/2} - \frac{1}{3L/2} \right) = \frac{\tau}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2}{L} - \frac{2}{3L} \right) = \frac{\tau}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3L} = \frac{\tau}{3\pi\varepsilon_0 L}. \]

Подставляя числовые значения (\(\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\text{ Ф/м}\)), получаем \(E \approx \frac{2 \times 10^{-9}}{3\pi \cdot 8.85 \times 10^{-12} L} \approx \frac{24}{L}\text{ В/м}\).

Так как длина отрезка \(L\) в условии не задана, окончательный ответ выражается формулой \(E = \frac{\tau}{3\pi\varepsilon_0 L}\). Если бы длина была известна, можно было бы вычислить численное значение.

Отправить ответ