Как доказать, что инертная масса равна гравитационной?

Доказать строго, что инертная масса равна гравитационной, в рамках классической физики невозможно — это не выводится из других законов, а является экспериментально установленным фактом, который называется принципом эквивалентности.

Нужно различать два понятия:

• Инертная масса — мера сопротивления тела изменению скорости. Она входит во второй закон Ньютона:

где $m_i$ — инертная масса.

• Гравитационная масса — мера взаимодействия тела с гравитационным полем. Сила тяжести записывается как:

где $m_g$ — гравитационная масса.

Если тело падает под действием только силы тяжести, то:

Отсюда:

Если бы отношение $m_g/m_i$ было разным для разных тел, то разные предметы падали бы с разными ускорениями. Например, железный шар и деревянный шар при одинаковых условиях имели бы разные ускорения.

Однако эксперименты показывают, что все тела падают с одинаковым ускорением (если не учитывать сопротивление воздуха). Значит:

то есть:

Одним из первых это проверил Галилей, наблюдая падение тел. Позже были проведены гораздо более точные эксперименты, например опыты Этвеша с крутильными весами. Они показали равенство инертной и гравитационной массы с огромной точностью.

В современной физике это равенство является основой общей теории относительности Эйнштейна. Его смысл в том, что локально невозможно отличить действие однородного гравитационного поля от системы отсчёта, которая движется с ускорением. Например, человек в закрытом лифте не сможет определить, стоит ли лифт на Земле или находится в космосе и ускоряется вверх с тем же ускорением.

Таким образом, равенство инертной и гравитационной массы не является математически доказанной теоремой. Оно подтверждено экспериментами и принято как фундаментальный физический принцип, из которого следует современное понимание гравитации.