Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом 30 градусов к горизонту, упал обратно на землю через 86,6 метров от места броска. Какой максимальной высоты он достиг во время полёта?

Дано:

• Угол броска к горизонту: $\alpha = 30^\circ$.

• Дальность полёта камня: $L = 86{,}6$ м.

• Камень упал на ту же горизонтальную поверхность, с которой был брошен.

• Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти: максимальную высоту подъёма камня $H$.

Решение

Камень движется по параболической траектории. Поскольку он брошен и упал на одном уровне, максимальная высота достигается в середине полёта.

Для тела, брошенного под углом к горизонту, дальность полёта определяется формулой:

где $v_0$ — начальная скорость камня, $g$ — ускорение свободного падения.

Максимальная высота подъёма определяется формулой:

Чтобы найти высоту, не зная начальной скорости, выразим её квадрат из первой формулы:

Подставим это выражение в формулу максимальной высоты:

Сократим $g$ и воспользуемся тригонометрическим тождеством:

Тогда:

Получаем удобную формулу:

Теперь подставим известные значения:

Так как:

то:

Ответ:

Максимальная высота, которой достиг камень во время полёта, составляет приблизительно 12,5 метра.