Лёгкая пружина жёсткостью k = 50 Н/м и длиной в недеформированном состоянии l0 = 30 см установлена вертикально на столе. На неё падает стальной шарик массой m = 250 г. Определите высоту относительно поверхности стола, на которой шарик будет иметь максимальную скорость. Чему равно максимальное сжатие пружины, если в начальный момент шарик находился на высоте h = 40 см от поверхности стола?

Обозначим сжатие пружины через \( x \). Скорость шарика максимальна тогда, когда сила тяжести уравновешивается силой упругости:

\[ mg = kx \]

\[ x = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}25 \cdot 10}{50} = 0{,}05 \text{ м} = 5 \text{ см} \]

Высота шарика над столом в этот момент:

\[ l_0 - x = 30 \text{ см} - 5 \text{ см} = 25 \text{ см} \]

Ответ: максимальная скорость будет на высоте 25 см от поверхности стола.

Теперь найдём максимальное сжатие пружины. По закону сохранения энергии:

\[ mg(h-l_0+x)=\frac{kx^2}{2} \]

Подставим данные:

\[ 0{,}25 \cdot 10(0{,}40-0{,}30+x)=\frac{50x^2}{2} \]

\[ 2{,}5(0{,}10+x)=25x^2 \]

\[ 10x^2-x-0{,}1=0 \]

Отсюда:

\[ x \approx 0{,}162 \text{ м} = 16{,}2 \text{ см} \]

Максимальное сжатие пружины: примерно 16 см.

0 0 Пожаловаться