Как правильно: прочесть книгу или прочитать?

Коротко: правильно и так, и так. Оба глагола — совершенного вида и означают завершённое действие “дочитал до конца”. Разница в стилистике и в формах.

Стилистика

• прочитать — нейтральное, разговорное и книжное одинаково; “по умолчанию” в обычной речи.
  Пример: «Я прочитал эту книгу за выходные».

• прочесть — более книжное/высокое, иногда звучит торжественно или слегка старомодно. Часто встречается в письменной речи.
  Пример: «Я прочёл эту книгу ещё в детстве», «прочесть молитву», «прочесть речь».

В устойчивых сочетаниях обычно одинаково допустимы оба варианта, но оттенок меняется:

• «прочитать лекцию» — стандартно; «прочесть лекцию» — более книжно.

• «прочитать вслух / прочесть вслух» — равноценно.

• В быту чаще скажут «прочитать книгу/письмо», в литературном тексте нередко «прочёл книгу/письмо».

Словообразование и формы

• прочитать: прош. вр. — прочитал, прочитала; дееприч. — прочитав; прич. — прочитанный.

• прочесть: прош. вр. — прочёл, прочла; наст.-буд. — прочту, прочтёшь, прочтёт, …; дееприч. — прочтя; прич. — прочтённый (книжн.).
  В реальной речи естественнее: прочитанная книга (а не прочтённая книга), прочитав письмо (а не прочтя письмо, которое звучит книжно).

Итог
Если нужен нейтральный, повседневный вариант — прочитать. Если хочется более книжного или торжественного оттенка — прочесть. В значении оба равноправны.

Коротко: оба варианта правильны. Разница не в смысле, а в стиле.

• «Прочитать книгу» — нейтральная, общепринятая форма. Подходит для любого стиля: разговорного, официально-делового, учебного. Это самый частотный вариант.

• «Прочесть книгу» — тоже нормативно, но звучит чуть более книжно/высоко и местами слегка устарело. Нормально в художественной и торжественной речи; в будничной — просто «литературнее».

По смыслу оба глагола — совершенного вида «закончить чтение»: прочитал/прочёл книгу за вечер — одинаково верно.

Формы у них различаются:

• прочитать: прочитаю, прочитал/прочитала/прочитали, повелит. прочитай(те);

• прочесть: прочту, прочёл/прочла/прочли, повелит. прочти(те).

Управление и сочетания совпадают: можно прочитать/прочесть книгу, лекцию, молитву; вслух/про себя. В устойчивых выражениях чаще встречается «прочитать нотацию/мораль», но «прочесть молитву» звучит особенно естественно.

Как выбрать на практике: нужен нейтральный тон — говорите прочитать книгу; хотите лёгкий приподнятый оттенок или лучше ложится по ритму фразы — прочесть книгу. Ошибки не будет ни в одном случае.