Какой корень в словах просить прошу попрошайка

В словах просить, прошу, попрошайка общий корень — -прос- / -прош-.

Разберём:

просить — корень прос, окончание/суффиксальная часть -ить.
прошу — корень прош, окончание -у.
попрошайка — приставка по-, корень прош, суффикс -айк-, окончание -а.

В корне происходит чередование согласных: с // ш. Поэтому в слове просить корень выглядит как прос-, а в словах прошу и попрошайка — как прош-.

Итак, правильный ответ: корень -прос- с чередованием -прош-.