помогите решить пример. Надо найти центр тяжести плоской однородной фигуры ограниченной кривыми y=x+1, y=cosx, y=0. Спасибо!

Фигура ограничена линиями \(y=x+1\), \(y=\cos x\) и \(y=0\). Найдём точки пересечения:

• \(y=x+1\) и \(y=0\): \(x=-1\), точка \((-1;0)\).
• \(y=\cos x\) и \(y=0\): \(x=\frac{\pi}{2}\), точка \(\left(\frac{\pi}{2};0\right)\).
• \(y=x+1\) и \(y=\cos x\): \(x=0\), точка \((0;1)\).

Область: при \(x\in[-1;0]\) верхняя граница \(y=x+1\), при \(x\in[0;\frac{\pi}{2}]\) верхняя граница \(y=\cos x\), нижняя везде \(y=0\).

Площадь фигуры:

\[A = \int_{-1}^{0}(x+1)\,dx + \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{0} + \Bigl[\sin x\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.\]

Координаты центра тяжести:

\[x_c = \frac{1}{A}\left( \int_{-1}^{0}x(x+1)\,dx + \int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx \right).\]\[\int_{-1}^{0}(x^2+x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = -\frac{1}{6}.\]\[\int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx = \Bigl[x\sin x + \cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 1.\]\[x_c = \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{6} + \frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{7}{6}\right) = \frac{\pi}{3} - \frac{7}{9}.\]\[y_c = \frac{1}{2A}\left( \int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx + \int_{0}^{\pi/2}\cos^2 x\,dx \right).\]\[\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx = \int_{0}^{1}u^2\,du = \frac{1}{3}.\]\[\int_{0}^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}(1+\cos 2x)\,dx = \frac{1}{2}\left[x+\frac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}.\]\[y_c = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{4+3\pi}{36}.\]

Ответ: центр тяжести находится в точке \(\left( \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{7}{9};\ \dfrac{4+3\pi}{36} \right)\).

Отправить ответ