5.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: 1) y = x^2 – 4x + 4, y = 0, x = 0; 2) y = x^2 + 6x + 9, y = 0, x = 0;

1) Даны линии \( y = x^2 - 4x + 4 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \).

Преобразуем функцию:

\[ y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \]

С осью \( Ox \) график пересекается при \( y = 0 \):

\[ (x - 2)^2 = 0 \]

\[ x = 2 \]

Площадь:

\[ S = \int_0^2 (x - 2)^2 dx \]

\[ S = \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx \]

\[ S = \left(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x\right)_0^2 = \frac{8}{3} \]

Ответ: \( \frac{8}{3} \).

2) Даны линии \( y = x^2 + 6x + 9 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \).

Преобразуем функцию:

\[ y = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

С осью \( Ox \) график пересекается при:

\[ (x + 3)^2 = 0 \]

\[ x = -3 \]

Площадь:

\[ S = \int_{-3}^0 (x + 3)^2 dx \]

\[ S = \int_{-3}^0 (x^2 + 6x + 9) dx \]

\[ S = \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x\right)_{-3}^0 = 9 \]

Ответ: \( 9 \).

0 0 Пожаловаться