Алгебра, 9 класс. Объясните тему «Ограниченная и неограниченная функция».

Ограниченная функция — это функция, значения которой не выходят за некоторые числовые границы.

Функция \(f(x)\) называется ограниченной сверху, если существует такое число \(M\), что для всех \(x\) из области определения выполняется:

\[f(x) \le M\]

Функция ограничена снизу, если существует такое число \(m\), что:

\[f(x) \ge m\]

Если функция ограничена и сверху, и снизу, её называют просто ограниченной. Это значит, что её график помещается между двумя горизонтальными прямыми.

Пример ограниченной функции:

\[f(x)=\sin x\]

Её значения всегда лежат от \(-1\) до \(1\):

\[-1 \le \sin x \le 1\]

Неограниченная функция — это функция, значения которой могут становиться сколь угодно большими или сколь угодно малыми.

Пример:

\[f(x)=x^2\]

Она ограничена снизу, потому что \(x^2 \ge 0\), но не ограничена сверху: значения могут расти бесконечно.

Ещё пример:

\[f(x)=x\]

Эта функция не ограничена ни сверху, ни снизу, потому что \(x\) может принимать всё большие положительные и отрицательные значения.

Коротко: если значения функции можно «зажать» между двумя числами, функция ограниченная. Если нельзя — неограниченная.

0 0 Пожаловаться