Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2sinx + cosx = a имеет единственное решение на отрезке [π/4; 3π/4].

Рассмотрим функцию:

\[f(x)=2\sin x+\cos x\]

Нужно понять, при каких \(a\) горизонтальная прямая \(y=a\) пересекает график на отрезке \([\pi/4;3\pi/4]\) ровно один раз.

Найдём производную:

\[f'(x)=2\cos x-\sin x\]

\[2\cos x-\sin x=0\]

\[\tan x=2\]

В этой точке функция достигает максимума:

\[f(x)=\sqrt5\]

Значения на концах отрезка:

\[f(\pi/4)=\frac{3\sqrt2}{2}\]

\[f(3\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}\]

Функция сначала возрастает до \(\sqrt5\), а потом убывает. Поэтому одно решение будет при значениях \(a\) от правого конца до значения левого конца, но левое значение не включается, а также при максимуме.

Ответ:

\[a\in\left[\frac{\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right)\cup\{\sqrt5\}\]

0 0 Пожаловаться