Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше

Ответы на вопрос

Отвечает Панова Дарья.

Пусть знаменатель дроби равен $x$ . Тогда числитель на 3 меньше знаменателя, то есть равен $x-3$ .

Исходная дробь:

\frac{x-3}{x}

Обратная ей дробь:

\frac{x}{x-3}

По условию сумма дроби и обратной ей дроби в $7{,}25$ раза больше исходной дроби. Составим уравнение:

\frac{x-3}{x}+\frac{x}{x-3}=7{,}25\cdot \frac{x-3}{x}

Заменим $7{,}25$ обыкновенной дробью:

7{,}25=\frac{725}{100}=\frac{29}{4}

Тогда уравнение примет вид:

\frac{x-3}{x}+\frac{x}{x-3}=\frac{29}{4}\cdot \frac{x-3}{x}

Перенесём исходную дробь в правую часть:

\frac{x}{x-3}=\frac{29}{4}\cdot \frac{x-3}{x}-\frac{x-3}{x}

Вынесем $\frac{x-3}{x}$ за скобки:

\frac{x}{x-3}=\left(\frac{29}{4}-1\right)\frac{x-3}{x}

\frac{x}{x-3}=\frac{25}{4}\cdot \frac{x-3}{x}

Теперь перемножим крест-накрест:

4x^2=25(x-3)^2

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

2x=5(x-3)

Решим уравнение:

2x=5x-15

3x=15

x=5

Значит, знаменатель дроби равен $5$ , а числитель равен:

x-3=5-3=2

Получаем дробь:

\frac{2}{5}

Проверим:

Обратная дробь к $\frac{2}{5}$ равна $\frac{5}{2}$ .

Сумма дроби и обратной ей дроби:

\frac{2}{5}+\frac{5}{2}=\frac{4}{10}+\frac{25}{10}=\frac{29}{10}=2{,}9

Теперь проверим, во сколько раз эта сумма больше исходной дроби:

2{,}9:\frac{2}{5}=2{,}9:0{,}4=7{,}25

Условие выполняется.

Ответ: исходная дробь равна $\frac{2}{5}$ .

Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найдите исходную дробь. Приведите полное решение.