Определите, сколько решений имеет каждая система уравнений, и дайте геометрическое объяснение (постройте график):
а) x+y=2
x+y=3

b) x+y=4
x-y=2

в) 2x - 3y=4
y=5

г) 2x - 4y = 6
x - 2y = 3

Чтобы определить число решений системы двух линнейных уравнений, нужно рассмотреть взаимное расположение соответствующих прямых:

• если прямые параллельны и не совпадают, решений нет;

• если прямые пересекаются, система имеет одно решение;

• если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

а)

[
\begin{cases}
x+y=2,\
x+y=3.
\end{cases}
]

Выразим (y):

[
\begin{cases}
y=-x+2,\
y=-x+3.
\end{cases}
]

Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (-1), но разные точки пересечения с осью (Oy): первая проходит через точку ((0;2)), а вторая — через ((0;3)). Поэтому прямые параллельны и не пересекаются.

Для построения можно взять точки:

• (y=-x+2): ((0;2)), ((2;0));

• (y=-x+3): ((0;3)), ((3;0)).

Ответ: система не имеет решений.

б)

[
\begin{cases}
x+y=4,\
x-y=2.
\end{cases}
]

Выразим (y):

[
\begin{cases}
y=-x+4,\
y=x-2.
\end{cases}
]

Найдём точку пересечения. Приравняем правые части:

[
-x+4=x-2.
]

[
2x=6,
]

[
x=3.
]

Подставим значение (x) во второе уравнение:

[
y=3-2=1.
]

Прямые пересекаются в точке ((3;1)).

Для построения можно взять точки:

• (y=-x+4): ((0;4)), ((4;0));

• (y=x-2): ((0;-2)), ((2;0)).

Ответ: система имеет одно решение:

[
\boxed{(3;1)}.
]

в)

[
\begin{cases}
2x-3y=4,\
y=5.
\end{cases}
]

Первое уравнение приведём к виду (y=kx+b):

[
2x-3y=4,
]

[
-3y=4-2x,
]

[
y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}.
]

Получаем систему:

[
\begin{cases}
y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3},\
y=5.
\end{cases}
]

Вторая прямая горизонтальная и проходит через точку (y=5). Найдём точку пересечения, подставив (y=5) в первое уравнение:

[
2x-3\cdot5=4,
]

[
2x-15=4,
]

[
2x=19,
]

[
x=\frac{19}{2}=9{,}5.
]

Следовательно, прямые пересекаются в точке

[
\left(\frac{19}{2};5\right).
]

Для построения можно взять точки:

• (2x-3y=4): ((2;0)), ((5;2));

• (y=5): например, ((0;5)), ((10;5)).

\begin{aligned} y&=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3} \ y&=5 \end{aligned}

Ответ: система имеет одно решение:

[
\boxed{\left(\frac{19}{2};5\right)}
]

или

[
\boxed{(9{,}5;5)}.
]

г)

[
\begin{cases}
2x-4y=6,\
x-2y=3.
\end{cases}
]

Разделим первое уравнение на (2):

[
\frac{2x-4y}{2}=\frac{6}{2},
]

[
x-2y=3.
]

Получилось точно такое же уравнение, как второе. Значит, оба уравнения задают одну и ту же прямую.

Выразим (y):

[
x-2y=3,
]

[
-2y=3-x,
]

[
y=\frac{x}{2}-\frac{3}{2}.
]

Для построения прямой можно взять точки ((3;0)), ((1;-1)) или ((5;1)). Графики обоих уравнений полностью совпадают.

Каждая точка этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям. Например, решениями являются ((3;0)), ((1;-1)), ((5;1)) и бесконечно много других точек.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Итог

[
\boxed{\text{а) решений нет}}
]

[
\boxed{\text{б) одно решение }(3;1)}
]

[
\boxed{\text{в) одно решение }\left(\frac{19}{2};5\right)}
]

[
\boxed{\text{г) бесконечно много решений}}
]