Решите систему уравнений разными способами: x⁴ + y⁴ = 17 xy = -2

Давайте разберём систему уравнений:

и попробуем решить её разными способами.

Способ 1: Подстановка через произведение

У нас есть $xy = -2$. Пусть $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения с такими свойствами:

Тогда выражение $x^4 + y^4$ можно переписать через $S$ и $P$. Вспомним формулу:

Сначала найдём $x^2 + y^2$:

Подставим в формулу для $x^4 + y^4$:

По условию системы $x^4 + y^4 = 17$, значит:

1. $S^2 + 4 = 5 \implies S^2 = 1 \implies S = \pm 1$

2. $S^2 + 4 = -5$ — не подходит, так как $S^2 \ge 0$

Итак, $x + y = S = 1$ или $x + y = S = -1$.

Теперь решаем для каждой суммы и произведения:

• Случай 1: $x + y = 1, xy = -2$
  Квадратное уравнение: $t^2 - (x+y)t + xy = t^2 - t - 2 = 0$