доказать что число t есть периодом функции f если:
1) f(x)=cos2x, T=п;
2)sin пx/2,T=8;
/-полоса дроба, тоесть поделить.

Хорошо, давай разберём оба случая подробно, шаг за шагом, как будто я отвечаю на вопрос на форуме.

1) Функция: $f(x) = \cos 2x$, проверить, что $T = \pi$

Шаг 1. Определение периода функции.
Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T > 0$, если для всех $x$ выполняется:

Шаг 2. Применим определение к $f(x) = \cos 2x$.
Проверим, выполняется ли $f(x + \pi) = f(x)$:

Шаг 3. Используем свойство косинуса.
Косинус периодичен с периодом $2\pi$, то есть $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$. Тогда:

Шаг 4. Вывод.
Так как $f(x + \pi) = f(x)$ для всех $x$, значит $T = \pi$ действительно является периодом функции $\cos 2x$.

2) Функция: $f(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$, проверить, что $T = 8$

Шаг 1. Определение периода функции.
Как и ранее, $f(x)$ периодическая с периодом $T$, если:

Шаг 2. Применяем к функции $f(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$.
Проверим $f(x + 8)$:

Шаг 3. Используем периодичность синуса.
Синус периодичен с периодом $2\pi$, то есть $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$. Заметим, что $4\pi = 2 \cdot 2\pi$:

Шаг 4. Вывод.
Так как $f(x + 8) = f(x)$ для всех $x$, период функции $f(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$ равен $T = 8$.

✅ Итог:

• Для $\cos 2x$ период $T = \pi$

• Для $\sin \frac{\pi x}{2}$ период $T = 8$

Все доказано строго через определение периода и свойства тригонометрических функций.