y = 4x^5 - 5x^4 1. Область определения. 2. Производная. 3. Стационарные точки (f'(x)=0). 4. Промежутки возрастания и убывания. 5. Точки экстремума и значения функции в этих точках.

Дана функция:

1. Область определения

Это многочлен, а многочлены определены при всех действительных значениях $x$.

2. Производная

Найдём производную функции:

Вынесем общий множитель:

3. Стационарные точки

Стационарные точки находятся из условия:

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

или

Значит, стационарные точки:

4. Промежутки возрастания и убывания

Рассмотрим знак производной:

Число $20$ всегда положительное, поэтому знак зависит от выражения:

Разбиваем числовую прямую точками $0$ и $1$:

Проверим знак производной на каждом промежутке.

На промежутке $(-\infty;0)$

Возьмём, например, $x=-1$:

Значит,

Функция возрастает на промежутке:

На промежутке $(0;1)$

Возьмём, например, $x=\frac12$:

Значит,

Функция убывает на промежутке:

На промежутке $(1;+\infty)$

Возьмём, например, $x=2$:

Значит,

Функция возрастает на промежутке:

Итак:

5. Точки экстремума и значения функции в этих точках

Смотрим на изменение знака производной.

Точка $x=0$

При переходе через $x=0$:

Значит, в точке $x=0$ функция имеет максимум.

Найдём значение функции:

Значит, точка максимума:

Точка $x=1$

При переходе через $x=1$: