Как решать многоэтажные дроби?

Ответы на вопрос

Отвечает Тверской Семён.

Многоэтажная дробь — это выражение, где в числителе или знаменателе обычной дроби тоже есть дроби. Например:

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}

Главный принцип такой:

Сначала упростите дроби «внутри этажей», затем выполните деление верхнего выражения на нижнее.

Многоэтажную дробь удобно мысленно читать как:

\frac{A}{B}=A:B

То есть числитель делится на знаменатель.

1. Если сверху и снизу по одной дроби

Например:

\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{7}}

Это означает:

\frac{2}{3}:\frac{5}{7}

Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}=\frac{14}{15}

Ответ:

\frac{14}{15}

Общее правило:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

При этом $b$ , $c$ и $d$ не должны быть равны нулю.

Например:

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}

Сначала считаем верхнюю часть:

\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Теперь нижнюю:

\frac{3}{4}-\frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Получаем:

\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{6}\cdot\frac{2}{1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Ответ:

\frac{5}{3}

Иногда многоэтажную дробь быстрее убрать, если умножить числитель и знаменатель большой дроби на общий знаменатель всех внутренних дробей.

Например:

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}

Общий знаменатель для $2$ , $3$ и $4$ — $12$ .

Умножаем всю дробь на $\frac{12}{12}$ :

\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\cdot 12} {\frac{1}{4}\cdot 12}

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра