Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и классифицировать их.

В условии не указано выражение функции, поэтому определить конкретные точки разрыва и исследовать непрерывность невозможно.

В общем случае функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если одновременно выполняются три условия:

Чтобы исследовать функцию на непрерывность, сначала находят её область определения. Подозрительными являются точки, в которых:

• знаменатель обращается в ноль;

• выражение под корнем чётной степени становится отрицательным;

• аргумент логарифма обращается в ноль или становится отрицательным;

• меняется формула кусочно заданной функции;

• не определены тангенс, котангенс или другие элементарные функции.

В каждой подозрительной точке $x_0$ вычисляют односторонние пределы:

Далее точку разрыва классифицируют.

Устранимый разрыв возникает, если оба односторонних предела существуют, конечны и равны:

но функция в точке $x_0$ либо не определена, либо

Такой разрыв можно устранить, задав $f(x_0)=A$.

Разрыв первого рода типа скачка возникает, если оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны:

Величина скачка равна

Разрыв второго рода возникает, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным. Например:

Следовательно, для полного решения необходимо знать формулу исследуемой функции. Без неё можно привести только общий алгоритм исследования непрерывности и классификации разрывов.