Рассматривается линейная функция y = ax + b. При каких значениях a и b ее график: а) проходит через начало координат; б) проходит через начало координат и точку M(–1; 3); в) параллелен графику функции y = 3x + 5; г) отсекает на осях координат равные отрезки; д) является биссектрисой координатного угла третьей четверти; е) проходит через точки M(3; 8) и N(4; 8); ж) проходит через точки K(3; 5) и N(–3; 7); з) проходит только через те точки, координаты которых имеют один знак; и) не проходит через точки, обе координаты которых положительны?

Для функции (y=ax+b) число (a) задаёт наклон прямой, а (b) — точку пересечения с осью (Oy).

а) График проходит через начало координат ((0;0)).

Подставим (x=0,; y=0):

[
0=a\cdot 0+b,
]

откуда

[
b=0.
]

Следовательно,

[
\boxed{b=0,\quad a\in\mathbb R.}
]

б) График проходит через начало координат и точку (M(-1;3)).

Из прохождения через начало координат:

[
b=0.
]

Тогда (y=ax). Подставим координаты точки (M):

[
3=a\cdot(-1),
]

[
a=-3.
]

Ответ:

[
\boxed{a=-3,\quad b=0.}
]

в) График параллелен графику (y=3x+5).

У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты, поэтому

[
\boxed{a=3.}
]

Число (b) может быть любым:

[
\boxed{a=3,\quad b\in\mathbb R.}
]

Если требуется, чтобы прямые были именно различными, а не совпадали, то дополнительно:

[
\boxed{b\ne5.}
]

г) График отсекает на осях координат равные отрезки.

Пересечение с осью (Oy): ((0;b)), длина отрезка равна (|b|).

Пересечение с осью (Ox) найдём из условия (y=0):

[
ax+b=0,
]

[
x=-\frac ba.
]

Длина отрезка на оси (Ox) равна

[
\left|-\frac ba\right|=\left|\frac ba\right|.
]

Требуем равенство длин:

[
\left|\frac ba\right|=|b|.
]

При (b\ne0) получаем

[
\frac1{|a|}=1,
]

[
|a|=1.
]

Значит,

[
\boxed{a=1\ \text{или}\ a=-1,\quad b\ne0.}
]

д) График является биссектрисой координатного угла третьей четверти.

Биссектриса третьей четверти имеет уравнение

[
y=x.
]

Следовательно,

[
\boxed{a=1,\quad b=0.}
]

е) График проходит через точки (M(3;8)) и (N(4;8)).

У обеих точек одинаковая координата (y=8), значит прямая горизонтальна:

[
y=8.
]

Следовательно,

[
\boxed{a=0,\quad b=8.}
]

ж) График проходит через точки (K(3;5)) и (N(-3;7)).

Найдём угловой коэффициент:

[
a=\frac{7-5}{-3-3}=\frac2{-6}=-\frac13.
]

Подставим точку (K(3;5)):

[
5=-\frac13\cdot3+b,
]

[
5=-1+b,
]

[
b=6.
]

Ответ:

[
\boxed{a=-\frac13,\quad b=6.}
]

з) График проходит только через точки, координаты которых имеют один знак.

Чтобы положительным (x) соответствовали положительные (y), а отрицательным (x) — отрицательные (y), прямая должна проходить через начало координат:

[
b=0.
]

Тогда (y=ax). Для сохранения одинакового знака координат необходимо, чтобы

[
a>0.
]

Следовательно,

[
\boxed{a>0,\quad b=0.}
]

Строго говоря, начало координат имеет нулевые координаты, но в таких задачах обычно подразумевают все остальные точки графика.

и) График не проходит через точки, обе координаты которых положительны.

Для каждого (x>0) должно выполняться

[
y=ax+b\le0.
]

Это возможно, если

[
a\le0
]

и

[
b\le0.
]

Действительно, при (x>0) произведение (ax\le0), а при (b\le0) получаем (y\le0).

Ответ:

[
\boxed{a\le0,\quad b\le0.}
]