В равностороннем треугольнике, сторона которого равна 20 см, соединены середины сторон, в полученном треугольнике опять соединены середины сторон и т. д. (см. рис.).

Вычисли сумму периметров всех треугольников.

Сумма периметров всех треугольников равна

Дан равносторонний треугольник со стороной 20 см. Соединяем середины его сторон — получается новый равносторонний треугольник, у которого сторона в 2 раза меньше:

Затем снова соединяем середины сторон полученного треугольника:

И так продолжается бесконечно.

Периметр равностороннего треугольника равен утроенной длине его стороны.

Первый треугольник:

Второй:

Третий:

Получаем последовательность периметров:

Это бесконечная геометрическая прогрессия, где первый член:

а знаменатель:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Подставляем значения:

Следовательно, сумма периметров всех треугольников равна: