1) Площадь прямоугольника составляет 25 см². Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр был наименьшим? 2) Поле прямоугольной формы имеет площадь 3600 м². Каковы должны быть размеры поля, чтобы на его ограждение ушло наименьшее количество материала? 3) Участок в форме параллелограмма с острым углом в 30 градусов имеет площадь 8 м². Найдите наименьшее значение периметра участка.

1) Площадь прямоугольника составляет 25 см². Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь:

Периметр:

Чтобы периметр был наименьшим при заданной площади, прямоугольник должен быть квадратом. Это свойство следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим: сумма сторон минимальна, когда стороны равны.

Значит:

Тогда:

Следовательно, размеры прямоугольника:

Минимальный периметр:

Ответ: стороны должны быть 5 см и 5 см.

2) Поле прямоугольной формы имеет площадь 3600 м². Каковы должны быть размеры поля, чтобы на его ограждение ушло наименьшее количество материала?

Пусть длина поля — $a$, ширина — $b$.

Площадь:

Количество материала для ограждения зависит от периметра:

Как и в первом задании, при постоянной площади минимальный периметр получается у квадрата.

Значит:

Тогда:

Размеры поля:

Периметр такого поля:

Ответ: поле должно иметь размеры 60 м на 60 м.

3) Участок в форме параллелограмма с острым углом в 30 градусов имеет площадь 8 м². Найдите наименьшее значение периметра участка.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а угол между ними:

Площадь параллелограмма:

Так как:

получаем:

Периметр:

Нужно минимизировать сумму $a+b$ при условии:

Минимальная сумма получается при:

Тогда:

Значит, обе стороны параллелограмма должны быть равны 4 м. Такой параллелограмм превращается в ромб со стороной 4 м и углом 30°.

Периметр:

Ответ: наименьшее значение периметра участка — 16 м.