Запишите в виде многочлена выражение с двумя переменными:
x⁵y² + x³y⁴ - 2x⁴y⁵ - y⁴x⁴ + 15x⁴y² - x²(x⁵y - x²y⁴)

Какие из следующих утверждений верны:
1) степень многочлена равна 7;
2) многочлен является симметрическим многочленом степени 9;
3) многочлен не имеет подобных членов;
4) степень многочлена равна 9?

Рассмотрим выражение:

Шаг 1. Раскроем скобки.

Умножим $-x^2$ на каждое слагаемое в скобках:

Подставим полученный результат в исходное выражение:

Шаг 2. Приведём подобные слагаемые.

Заметим, что:

Следовательно, получаем многочлен:

Шаг 3. Определим степень многочлена.

Степень каждого одночлена равна сумме показателей степеней переменных:

• $x^5y^2$ — степень $5+2=7$;

• $x^3y^4$ — степень $3+4=7$;

• $-2x^4y^5$ — степень $4+5=9$;

• $15x^4y^2$ — степень $4+2=6$;

• $-x^7y$ — степень $7+1=8$.

Наибольшая степень одночлена равна 9, поэтому степень всего многочлена равна 9.

Шаг 4. Проверим утверждения.

1) Степень многочлена равна 7.

Неверно, поскольку наибольшая степень одночлена равна 9.

2) Многочлен является симметрическим многочленом степени 9.

Неверно. Хотя степень многочлена действительно равна 9, он не является симметрическим. При перестановке переменных $x$ и $y$ многочлен изменяется.

3) Многочлен не имеет подобных членов.

Верно. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в полученном многочлене нет одночленов с одинаковыми буквенными частями.

4) Степень многочлена равна 9.

Верно, поскольку наибольшую степень имеет одночлен $-2x^4y^5$, степень которого равна $4+5=9$.

Ответ: верны утверждения 3 и 4.