Решите уравнение cos(2x - π/4) = -1 и найдите его корни, принадлежащие отрезку [0; 3π/2].

Решим уравнение:

Шаг 1. Используем свойство косинуса.

Известно, что косинус равен $-1$, когда его аргумент равен нечётному числу $\pi$:

Следовательно, получаем:

Шаг 2. Найдём общее решение уравнения.

Перенесём $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

Приведём подобные слагаемые:

Разделим обе части уравнения на 2:

Это общее решение уравнения.

Шаг 3. Найдём корни, принадлежащие отрезку.

По условию необходимо найти корни на отрезке:

Подставим общее решение в границы отрезка:

Разделим все части неравенства на $\pi$:

Вычтем $\frac58$:

Поскольку $k$ — целое число, из полученного промежутка подходит только:

Шаг 4. Найдём значение корня.

Подставим $k=0$ в общее решение:

Получаем:

Проверим принадлежность отрезку:

Неравенство выполняется.

Ответ:

Таким образом, на отрезке $\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$ уравнение имеет ровно один корень — $\frac{5\pi}{8}$.