а) Решите уравнение sin2x=cos(3π/2+x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2;5π/2].
 и пожалуйста с объяснениями.

Решим уравнение:

\[\sin 2x=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right).\]

Используем формулу: \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x\). Тогда:

\[\sin 2x=\sin x.\]

Так как \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), получаем:

\[2\sin x\cos x=\sin x,\]

\[\sin x(2\cos x-1)=0.\]

Отсюда возможны два случая:

\[\sin x=0,\quad x=\pi n;\]

\[2\cos x-1=0,\quad \cos x=\frac12,\quad x=2\pi n\pm\frac{\pi}{3},\]

где \(n\) — целое число.

На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\[x=\frac{5\pi}{3},\quad 2\pi,\quad \frac{7\pi}{3}.\]

0 0 Пожаловаться