Решите уравнение: cos(2x) - √2·sin(π/2 - x) + 1 = 0.
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Используем формулу \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\):

\[ \cos 2x-\sqrt{2}\cos x+1=0 \]

Так как \(\cos 2x=2\cos^2x-1\), получаем:

\[ 2\cos^2x-\sqrt{2}\cos x=0 \]

\[ \cos x(2\cos x-\sqrt{2})=0 \]

Отсюда:

• \(\cos x=0\), тогда \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\);
• \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), тогда \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) находятся корни:

\[ -\frac{15\pi}{4},\quad-\frac{7\pi}{2},\quad-\frac{5\pi}{2}. \]

0 0 Пожаловаться