Помогите решить логарифмические неравенство
решите неравенство log1/2 (3x+6) - log1/2 (2x-4) < log 1/2 (2x-6) +2

Сначала найдём область определения: все выражения под логарифмами должны быть положительными.

\(3x+6>0\), \(2x-4>0\), \(2x-6>0\). Значит, \(x>3\).

Решаем неравенство:

\[\log_{\frac12}(3x+6)-\log_{\frac12}(2x-4)<\log_{\frac12}(2x-6)+2\]

Разность логарифмов:

\[\log_{\frac12}\frac{3x+6}{2x-4}<\log_{\frac12}(2x-6)+2\]

Так как \(2=\log_{\frac12}\frac14\), получаем:

\[\log_{\frac12}\frac{3x+6}{2x-4}<\log_{\frac12}\frac{2x-6}{4}\]

Основание \(\frac12\) меньше \(1\), поэтому знак неравенства меняется:

\[\frac{3x+6}{2x-4}>\frac{2x-6}{4}\]

Упростим правую часть:

\[\frac{3x+6}{2x-4}>\frac{x-3}{2}\]

Так как при \(x>3\) знаменатель положительный, умножаем без смены знака:

\[2(3x+6)>(x-3)(2x-4)\]

\[6x+12>2x^2-10x+12\]

\[0>2x^2-16x\]

\[2x(x-8)<0\]

Отсюда \(0<x<8\). С учётом области определения \(x>3\):

Ответ: \(x\in(3;8)\).

0 0 Пожаловаться