Найдите наибольшее значение выражения 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b.
При каких значениях a и b оно достигается?

Найдём наибольшее значение выражения:

\[2ab-a^2-2b^2+4b\]

Сгруппируем и выделим полный квадрат:

\[2ab-a^2=-(a^2-2ab)\]

Удобнее выделить квадрат по \(a\):

\[-a^2+2ab=-(a-b)^2+b^2\]

Тогда всё выражение равно:

\[-(a-b)^2+b^2-2b^2+4b=-(a-b)^2-b^2+4b\]

Теперь выделим квадрат по \(b\):

\[-b^2+4b=-(b-2)^2+4\]

Получаем:

\[-(a-b)^2-(b-2)^2+4\]

Квадраты не могут быть отрицательными, значит \(-(a-b)^2\leq 0\) и \(-(b-2)^2\leq 0\). Наибольшее значение получится, когда оба квадрата равны нулю:

\[a-b=0,\quad b-2=0\]

Значит, \(b=2\), \(a=2\).

Ответ: наибольшее значение равно \(4\), оно достигается при \(a=2\), \(b=2\).

0 0 Пожаловаться