Докажи тождество: (cos^2 (π + a) - sin^2 (π/2 + a) - cos(π - a) * cos(2π + a)) / (tan^2 (π/2 + a) * cot^2 (π/2 - a)) = cos^2 a

Преобразуем числитель:

\[\cos^2(\pi+a)=\cos^2 a,\qquad \sin^2\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=\cos^2 a.\]

Также:

\[\cos(\pi-a)=-\cos a,\qquad \cos(2\pi+a)=\cos a.\]

Тогда числитель равен:

\[\cos^2 a-\cos^2 a-(-\cos a\cdot\cos a)=\cos^2 a.\]

Преобразуем знаменатель:

\[\tan\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\cot a,\qquad \cot\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\tan a.\]

Следовательно,

\[\tan^2\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cdot\cot^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cot^2a\cdot\tan^2a=1.\]

Значит, всё выражение равно:

\[\frac{\cos^2 a}{1}=\cos^2 a.\]

Тождество доказано.

0 0 Пожаловаться