Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений x + y + 2z = 4x² + y² и 2x + y + 3z = a имеет единственное решение.

Из второго уравнения выразим \(z\):

\[z=\frac{a-2x-y}{3}.\]

Подставим в первое уравнение и приведём к виду:

\[12\left(x+\frac{1}{24}\right)^2+3\left(y-\frac{1}{6}\right)^2=2a+\frac{5}{48}.\]

Единственная пара \(x,y\) получится только тогда, когда правая часть равна нулю: тогда сумма квадратов равна нулю и оба квадрата равны нулю.

\[2a+\frac{5}{48}=0,\qquad a=-\frac{5}{96}.\]

Ответ: \(a=-\frac{5}{96}\).

0 0 Пожаловаться