Идёт ли химическая реакция CuS + HCl = CuCl₂ + H₂S (ведь сульфид меди нерастворим в соляной кислоте)?

Нет, в обычных условиях такая реакция практически не идёт.

Уравнение

можно записать формально, но оно не отражает реального поведения веществ в растворе. Сульфид меди(II) $\mathrm{CuS}$ — чрезвычайно малорастворимое соединение. Ионы $\mathrm{H^+}$ из соляной кислоты не способны заметно разрушить его кристаллическую решётку и перевести медь в раствор в виде $\mathrm{Cu^{2+}}$.

Правильнее рассматривать предполагаемый процесс в ионной форме:

Равновесие сильно смещено влево, то есть к твёрдому $\mathrm{CuS}$. Поэтому при добавлении разбавленной соляной кислоты чёрный осадок $\mathrm{CuS}$ практически не растворяется, а выделения $\mathrm{H_2S}$ обычно не наблюдается.

Для сравнения, сульфиды многих более активных металлов, например $\mathrm{FeS}$ или $\mathrm{ZnS}$, с соляной кислотой реагируют:

поскольку они значительно легче растворяются в кислотах.

Сульфид меди(II) растворяют окислителями, например азотной кислотой. В таком случае сульфид-ион окисляется, а медь переходит в раствор, поэтому процесс становится возможным.