Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке P, ВР = 4 см и РС = 10 см. Вычислите периметр параллелограмма АВСD.

Решение.

Обозначим |AB| = a и |AD| = b. Пусть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — ненулевые.

Так как AP — биссектриса угла DAB, направление $\vec{AP}$ пропорционально сумме единичных векторов вдоль сторон:

Точка $P$ лежит на стороне $BC$, а $BC\parallel AD$. Следовательно,

где $t=\dfrac{BP}{BC}$ — доля, в которой точка $P$ делит отрезок $BC$ от точки $B$.

Сравнивая разложения по базису $(\vec{AB},\vec{AD})$:

получаем две скалярные равенства по коэффициентам при $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

Отсюда $\lambda=a$ и, значит, $t=\dfrac{a}{b}$.

Но $t=\dfrac{BP}{BC}$, а $BC=AD=b$. Поэтому

то есть $BP = AB$.

По условию $BP=4$ см, значит $AB=4$ см. Также $PC=10$ см, следовательно $BC=BP+PC=4+10=14$ см, а потому $AD=BC=14$ см.

Периметр параллелограмма:

Ответ: 36 см.