Биссектриса равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Определите угол, противолежащий основанию.

Обозначу треугольник $ABC$, пусть он равнобедренный: $AB=AC$, основание $BC=a$. Проведём из вершины $A$ биссектрису $AD$ к основанию. В равнобедренном треугольнике эта биссектриса одновременно является медианой и высотой, значит $D$ — середина $BC$, $BD=DC=\tfrac{a}{2}$, и $\angle ADB=90^\circ$.

По условию длина биссектрисы равна основанию: $AD=BC=a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Тогда

Пусть $\angle BAD=\varphi$. Искомый угол при вершине $A$ равен $\angle A=2\varphi$. Используем формулу для косинуса двойного угла через $\tan\varphi$:

Значит $\cos\angle A=\frac{3}{5}$, откуда

Ответ: угол, противолежащий основанию, равен $\arccos(3/5)\approx 53{,}13^\circ$.