Докажите, что если две высоты треугольника равны между собой, то этот треугольник равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что если две высоты треугольника равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным, воспользуемся следующим рассуждением.

1. Пусть у нас есть треугольник $ABC$, в котором $h_1$ и $h_2$ — это высоты, опущенные из вершин $A$ и $B$ на противоположные стороны $BC$ и $AC$, соответственно. По условию задачи, эти высоты равны между собой, то есть $h_1 = h_2$.

2. Высота в треугольнике — это перпендикуляр, проведенный из вершины на противоположную сторону. То есть $h_1$ и $h_2$ — это расстояния от вершин $A$ и $B$ до прямых $BC$ и $AC$.

3. Рассмотрим теперь треугольник с условием, что $h_1 = h_2$. Пусть основанием для высоты $h_1$ является сторона $BC$, а основанием для высоты $h_2$ — сторона $AC$.

4. Известно, что в прямоугольных треугольниках, образованных высотами, высота перпендикулярна основанию. Это означает, что расстояния от точек $A$ и $B$ до оснований треугольника (сторон $BC$ и $AC$) будут одинаковыми.

5. При условии, что высоты равны, а значит, их перпендикулярные расстояния от соответствующих вершин на противоположные стороны одинаковы, можно заключить, что расстояния от точек $A$ и $B$ до соответствующих сторон будут одинаковыми. Это возможно только в том случае, если стороны $AB$ и $AC$ равны между собой.

6. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = AC$.

Это и есть доказательство того, что если две высоты треугольника равны, то треугольник равнобедренный.