Треугольник ABC правильный. Точка O — его центр. Прямая OM перпендикулярна плоскости ABC. Докажите, что MA = MB = MC. Найдите MA, если AB = 6 см, MO = 2 см.

Треугольник ABC правильный, следовательно, все его стороны равны и углы между ними равны 60°. Точка O — центр треугольника, то есть точка пересечения медиан, которые также являются высотами и биссектрисами.

Прямая OM перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Это значит, что точка M находится на прямой, проходящей через O и перпендикулярной плоскости треугольника. Точки A, B и C находятся на одной и той же плоскости, а точка M находится в пространстве, где прямые AM, BM и CM — одинаково удалены от точки O, так как точка O является центром правильного треугольника и лежит на оси симметрии относительно каждой из его сторон.

Теперь давайте докажем, что MA = MB = MC.

1. Медианы и симметрия: Поскольку треугольник ABC правильный, его медианы одновременно являются высотами и биссектрисами. Они делят треугольник на три равные части и пересекаются в точке O, которая является центром масс треугольника. Точка M лежит на прямой, перпендикулярной плоскости, проходящей через O, и на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника A, B и C. Это означает, что расстояния от M до каждой из вершин треугольника A, B и C равны, т.е. MA = MB = MC.

2. Расстояние MA: Теперь найдем расстояние MA. В треугольнике ABC правильный, его высота может быть найдена по формуле для высоты правильного треугольника:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB$$

   Подставим значение AB = 6 см:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \, \text{см}$$

   Центр масс треугольника (точка O) находится на расстоянии $\frac{h}{3}$ от каждой стороны. Таким образом, расстояние от точки O до вершины (например, A) равно:

   $$\frac{h}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \, \text{см}$$

   Поскольку точка M лежит на прямой OM и MO = 2 см, то расстояние от точки M до каждой из вершин A, B и C будет равно:

   $$MA = MO + OА = 2 + \sqrt{3} \, \text{см}$$

Таким образом, MA = MB = MC = $2 + \sqrt{3}$ см.