Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным тангенсу этого угла? Обоснуйте ответ.

Да, синус острого угла прямоугольного треугольника может быть равен тангенсу этого угла, но только в одном случае.

Для этого рассмотрим определение синуса и тангенса острого угла $\theta$ в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла $\theta$ равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы: $\sin(\theta) = \frac{a}{c}$.

• Тангенс угла $\theta$ равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета: $\tan(\theta) = \frac{a}{b}$.

Чтобы синус был равен тангенсу, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:

Упростив его, получаем:

Это означает, что гипотенуза и прилежащий катет должны быть равны по длине. Такое возможно только в случае равнобедренного прямоугольного треугольника, где катеты равны между собой. В этом случае угол $\theta$ будет равен 45° (поскольку в прямоугольном треугольнике сумма углов 180°, и если два угла равны, каждый из них составляет 45°).

Таким образом, синус острого угла прямоугольного треугольника может быть равен тангенсу только в случае, если треугольник является равнобедренным прямоугольным.