Дано: ABC — равносторонний треугольник. Прямая a перпендикулярна плоскости ABC. AB = 2√3, MD = 4. Найти MC.

Рассмотрим точку $D$ как середину $AB$ и основание перпендикуляра $a$ на плоскость $\triangle ABC$ (в равностороннем треугольнике медиана из $C$ падает как раз в середину $AB$). Тогда $CD$ — медиана/высота треугольника.

Длина стороны $AB=2\sqrt{3}$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, значит

(то же выходит по Пифагору: $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$.)

Так как прямая $a\perp (ABC)$, отрезок $MD$ перпендикулярен плоскости и, в частности, $CD$. Следовательно, $\triangle MCD$ прямоугольный при $D$, и по теореме Пифагора:

Ответ: $MC=5$.