Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1 биссектрисы, проведённые из вершин A и A1, равны.

Короткое решение через движения (самое простое).
Если треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, существует движение плоскости (поворот/параллельный перенос/симметрия), переводящее $A\mapsto A_1$, $B\mapsto B_1$, $C\mapsto C_1$. Движение сохраняет длины и углы. Образ биссектрисы угла $A$ — это биссектриса угла $A_1$ (потому что половины углов переходят в половины, а прямая $BC$ — в $B_1C_1$). Значит, отрезок биссектрисы из $A$ равен отрезку биссектрисы из $A_1$.

Решение «в лоб» формулой длины биссектрисы.
Обозначим стандартно: $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Длина биссектрисы из вершины $A$ равна

Для равных треугольников соответствующие стороны и углы равны: $a=a_1$, $b=b_1$, $c=c_1$, $\angle A=\angle A_1$. Подставляя в формулу, получаем $\ell_a=\ell_{a_1}$, то есть длины биссектрис из $A$ и $A_1$ равны.

Замечание. Формулу можно вывести, например, из теоремы о биссектрисе (отношение деления стороны $BC$) и теоремы Стюарта; тогда равенство сторон и углов в равных треугольниках автоматически даёт равенство и биссектрис.