Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен α. Высота пирамиды равна H. Найдите объем конуса, вписанного в пирамиду.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с высотой $H$ и двугранным углом при основании $\alpha$ (между плоскостью основания и боковой гранью вдоль ребра основания).

1. В сечении плоскостью, перпендикулярной ребру основания и проходящей через ось пирамиды, получаем прямоугольный треугольник, где один катет — высота $H$, а другой — расстояние от центра основания до середины ребра (апофема основания) $\rho$. По определению двугранного угла

2. Вписываемый в пирамиду круглый конус имеет ту же вершину, что и пирамида, и ось, совпадающую с высотой пирамиды; его образующая в указанном сечении должна совпадать с линией боковой грани. Значит половина угла при вершине конуса $\psi$ (угол между образующей и осью) равна углу между этой линией и осью, то есть

где $R$ — радиус основания конуса. Отсюда

Заметим, что $R=\rho$: основание конуса — вписанная в квадрат окружность.

3. Объём конуса: