Сторона основания правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4 см, а боковое ребро — 5 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через ребро АА1 и вершину С.

Возьмём систему координат: основание призмы — квадрат ABCD в плоскости $z=0$ со сторонами 4 см, где
$A(0,0,0),\; B(4,0,0),\; C(4,4,0),\; D(0,4,0)$.
Верхнее основание на высоте $z=5$: $A_1(0,0,5)$, $C_1(4,4,5)$ и т.д. (боковое ребро 5 см).

Плоскость, проходящая через ребро $AA_1$ (все точки вида $(0,0,z)$) и вершину $C(4,4,0)$, имеет уравнение
$y=x$ (она содержит векторы $\overrightarrow{AA_1}=(0,0,5)$ и $\overrightarrow{AC}=(4,4,0)$, их векторное произведение перпендикулярно оси $z$, значит плоскость «вертикальная», задана $y=x$).

Следовательно, сечение — это множество точек вида $(t,t,z)$ при $0\le t\le 4$ и $0\le z\le 5$.
Это прямоугольник с вершинами $A(0,0,0)$, $C(4,4,0)$, $C_1(4,4,5)$, $A_1(0,0,5)$:
— одна сторона равна диагонали квадрата основания $AC=4\sqrt{2}$,
— другая — боковому ребру $AA_1=5$.

Площадь сечения:

Ответ: $20\sqrt{2}$ см².