В треугольнике CDE угол E=76°, угол D=66°, ЕК – биссектриса треугольника. Докажите, что DK < KC.

Для того чтобы доказать, что $DK < KC$ в треугольнике $CDE$, где угол $E = 76^\circ$, угол $D = 66^\circ$, а $EK$ — биссектриса угла $\angle D$, воспользуемся свойствами биссектрисы.

1. Используем свойства биссектрисы.

   Биссектрисой угла в треугольнике называется отрезок, который делит угол на два равных угла и пересекает противоположную сторону. В данном случае $EK$ — это биссектриса угла $\angle D$, которая пересекает сторону $EC$ в точке $K$. Согласно свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону $EC$ на части, пропорциональные прилежащим сторонам $DE$ и $CD$, то есть:

   $$\frac{DK}{KC} = \frac{DE}{CD}$$

   Это важное равенство даёт нам отношение длин отрезков $DK$ и $KC$.

2. Найдём углы треугольника $CDE$.

   Мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $CDE$ углы $E = 76^\circ$ и $D = 66^\circ$, следовательно, угол $C$ можно найти как:

   $$\angle C = 180^\circ - \angle E - \angle D = 180^\circ - 76^\circ - 66^\circ = 38^\circ$$

3. Используем свойство биссектрисы.

   Поскольку биссектриса делит угол $\angle D$ пополам, то каждый из углов, образующихся на вершине $D$, равен $33^\circ$ (половина угла $\angle D = 66^\circ$).

4. Заключение по пропорции.

   Мы доказали, что биссектрисой угол делится на два равных угла, а отрезок, который её пересекает, делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, если сторона $DE$ больше стороны $CD$ (что очевидно, так как угол $D$ больше угла $C$), то по свойству биссектрисы длина отрезка $DK$ будет меньше длины отрезка $KC$.

   Следовательно, $DK < KC$, что и требовалось доказать.