Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Сечение параллелепипеда, содержащее диагонали его оснований, является квадратом. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Пусть у прямоугольного параллелепипеда размеры основания $a\times b$, высота — $h$. Он «описан около цилиндра» радиуса $r=4$, ось цилиндра перпендикулярна основаниям. Тогда окружность основания цилиндра касается всех четырёх боковых граней, а значит в основании должен быть квадрат со стороной, равной диаметру цилиндра:

Сечение, содержащее диагонали его оснований, — это плоскость через центр параллелепипеда, в которой лежат диагонали верхнего и нижнего квадратов. Такое сечение даёт прямоугольник со сторонами:

• одна сторона — диагональ основания $d=\sqrt{a^2+b^2}=8\sqrt{2}$;

• другая — высота $h$.

По условию это сечение — квадрат, значит

Площадь полной поверхности параллелепипеда:

Ответ: $S=128+256\sqrt{2}$.