Найдите наименьшее значение функции y = x⁴ - 5x² - 50 на отрезке [-4; 1].

Ищем минимум многочлена на отрезке $[-4;1]$.

1. Найдём критические точки внутри отрезка.
   $y=x^4-5x^2-50$. Производная:

Критические точки: $x=0$ и $2x^2-5=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}$.
Из них на отрезке $[-4;1]$ лежат $x=0$ и $x=-\sqrt{\tfrac{5}{2}}$ (потому что $+\sqrt{\tfrac{5}{2}}\approx1{,}58>1$ — вне отрезка).

2. Проверим значения функции в концах отрезка и в найденных критических точках:

• $x=-4:\quad y=(-4)^4-5(-4)^2-50=256-80-50=126$.

• $x=1:\quad y=1-5-50=-54$.

• $x=0:\quad y=-50$.

• $x=-\sqrt{\tfrac{5}{2}}:\quad y=\left(\frac{25}{4}\right)-5\left(\frac{5}{2}\right)-50 =\frac{25}{4}-\frac{25}{2}-50 =\frac{25-50-200}{4} =-\frac{225}{4}=-56{,}25.$

3. Сравниваем: $126,\ -54,\ -50,\ -\frac{225}{4}$. Наименьшее значение — $-\frac{225}{4}$.

Ответ: минимальное значение функции на $[-4;1]$ равно $-\dfrac{225}{4}$ (достигается при $x=-\sqrt{\tfrac{5}{2}}$).