Продолжение боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M, AM=20. Найти AB, если DC:CM=2:3.

Задача касается трапеции ABCD, где боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжаются и пересекаются в точке $M$, при этом известно, что $AM = 20$ и отношение длин отрезков $DC : CM = 2 : 3$. Нужно найти длину основания $AB$.

Решение:

1. Обозначим длины отрезков:

   • Пусть $AB = x$ — длина одного основания трапеции.

   • $DC = y$ — длина другого основания трапеции.

   • $CM = z$ — длина отрезка от точки $C$ до точки пересечения прямых, то есть $CM = z$.
     Согласно условию задачи, отношение длин отрезков $DC : CM = 2 : 3$, значит:

   $$\frac{y}{z} = \frac{2}{3}$$

   Отсюда можно выразить $y$ через $z$:

   $$y = \frac{2}{3}z$$

2. Поскольку точка $M$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон, то, согласно свойству трапеции, точки $A, B, C, D$ находятся на одной прямой, и отрезки $AM$ и $CM$ делят отрезки $AB$ и $DC$ в том же отношении, что и сами отрезки $DC$ и $CM$. То есть:

   $$\frac{AM}{CM} = \frac{AB}{DC}$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{20}{z} = \frac{x}{y}$$

   Используем выражение для $y$:

   $$\frac{20}{z} = \frac{x}{\frac{2}{3}z}$$

   Упростим уравнение:

   $$\frac{20}{z} = \frac{3x}{2z}$$

   Умножим обе стороны на $2z$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$40 = 3x$$

   Разделим обе стороны на 3:

   $$x = \frac{40}{3}$$

Таким образом, длина основания $AB$ равна $\frac{40}{3}$.