Могут ли стороны треугольника относиться как 2 : 3 : 6?

Нет, не могут.
Если стороны треугольника пропорциональны $2:3:6$, то они равны $2k,\;3k,\;6k$ для некоторого $k>0$. Для треугольника должна выполняться строгая неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей. Проверим самую «узкую» пару:

что неверно при любом $k>0$. Значит, треугольник с такими отношениями сторон не существует (даже вырожденного не получится, так как там было бы $2k+3k=6k$, а у нас $5k\neq 6k$).