Найдите углы вписанного в окружность четырёхугольника, если противоположные углы относятся как 2:3 и 4:5.

Для решения задачи давайте обозначим углы вписанного четырёхугольника буквами: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, и $\delta$. Пусть углы противоположных сторон относятся как 2:3 и 4:5. Это означает, что:

• Один угол и его противоположный угол (например, $\alpha$ и $\gamma$) относятся как 2:3.

• Другой угол и его противоположный угол (например, $\beta$ и $\delta$) относятся как 4:5.

Шаг 1: Составим систему уравнений.

Сначала обозначим углы через коэффициенты для простоты. Пусть:

• $\alpha = 2x$, $\gamma = 3x$ — углы, противоположные друг другу, соотношение 2:3.

• $\beta = 4y$, $\delta = 5y$ — углы, противоположные друг другу, соотношение 4:5.

Шаг 2: Используем свойство углов вписанного четырёхугольника.

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов всегда равна 180°. То есть:

Подставим в эти уравнения выражения для углов:

Шаг 3: Решаем систему уравнений.

Решим первое уравнение:

Теперь подставим значение $x$ во второе уравнение:

Шаг 4: Находим углы.

Теперь, зная значения $x$ и $y$, можем найти все углы:

• $\alpha = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$

• $\gamma = 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ$

• $\beta = 4y = 4 \times 20^\circ = 80^\circ$

• $\delta = 5y = 5 \times 20^\circ = 100^\circ$

Ответ:

Углы вписанного в окружность четырёхугольника равны:

• $72^\circ$,

• $108^\circ$,

• $80^\circ$,

• $100^\circ$.