Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной следующим уравнением: \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0\).

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$, нужно привести это уравнение к стандартной форме окружности. Стандартное уравнение окружности имеет вид:

где $(h, k)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартной форме

Для этого соберем квадратные члены по $x$ и $y$ отдельно, и добавим такие константы, чтобы уравнение стало полным квадратом.

Итак, начнем с уравнения:

Группируем члены с $x$ и $y$:

Теперь завершаем квадрат для обеих групп.

Для $x^2 - 2x$:

Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем $\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1$:

Для $y^2 + 4y$:

Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$:

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

Упростим:

Добавим 5 к обеим частям уравнения:

Шаг 2: Определение центра и радиуса

Теперь у нас уравнение в стандартной форме:

Из этого уравнения видно, что центр окружности имеет координаты $(1, -2)$, а радиус окружности равен $\sqrt{25} = 5$.

Ответ:

• Координаты центра окружности: $(1, -2)$

• Радиус окружности: 5