Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

Ответ: средняя линия делится диагоналями на три отрезка длиной 6 см, 5 см и 6 см.

Обоснование. Пусть у трапеции основания $AB\parallel CD$ равны $AB=22$ и $CD=12$. Возьмём систему координат: $A(0,0)$, $B(22,0)$, $D(x_0,h)$, $C(x_0+12,h)$. Средняя линия соединяет середины боковых сторон $AD$ и $BC$; её концы:

поэтому длина средней линии $EF=\frac{22+12}{2}=17$.

Диагональ $AC$ задаётся параметрически $(t(x_0+12),\, th)$. Она пересекает среднюю линию при $y=\tfrac{h}{2}$, то есть при $t=\tfrac12$. Тогда абсцисса точки пересечения

Аналогично для диагонали $BD:\ (22+s(x_0-22),\, sh)$, при $y=\tfrac{h}{2}\Rightarrow s=\tfrac12$, и

Итак, на горизонтальном отрезке $EF$ (от $x=\tfrac{x_0}{2}$ до $x=\tfrac{x_0}{2}+17$) точки пересечения лежат в порядке

Следовательно,

Замечание: всегда внешние отрезки равны $\tfrac{CD}{2}$, а средний — $\tfrac{AB-CD}{2}$. При $CD=12$