Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 108 см². Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания призмы под углом 45 градусов. Найдите объём призмы.

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, давайте шаг за шагом разберем задачу.

Шаг 1. Разбор данных.
У нас есть правильная треугольная призма, площадь её боковой поверхности равна 108 см². Мы знаем, что диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания призмы под углом 45 градусов.

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы состоит из трех прямоугольных боковых граней. Каждая грань является прямоугольником, где одна сторона — это высота призмы, а другая — это сторона основания.

2. Боковая поверхность призмы состоит из трёх боковых граней. Если обозначим сторону основания треугольника как $a$, а высоту призмы как $h$, то площадь боковой поверхности будет равна:

   $$P_{\text{бок}} = 3 \cdot a \cdot h.$$

   Нам известно, что $P_{\text{бок}} = 108$ см². Получаем уравнение:

   $$3 \cdot a \cdot h = 108.$$

   Отсюда:

   $$a \cdot h = 36. \tag{1}$$

Шаг 2. Определение стороны основания $a$ через диагональ боковой грани.
Теперь давайте рассмотрим диагональ боковой грани. Боковая грань — это прямоугольный треугольник с катетами $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы), а гипотенуза — это диагональ $d$. По теореме Пифагора:

Нам также известно, что диагональ наклонена под углом 45 градусов к плоскости основания. Это означает, что угол между диагональю и высотой $h$ боковой грани составляет 45 градусов. В таком случае, по определению угла наклона, длина диагонали будет связана с высотой $h$ и стороной основания $a$ через тангенс угла наклона. Для угла в 45 градусов тангенс равен 1:

что дает:

Шаг 3. Подставим значение $h = a$ в уравнение (1).
Из уравнения (1) мы получаем:

то есть:

и:

Шаг 4. Вычисление объема призмы.
Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания призмы, а $h$ — высота призмы. Основание призмы — правильный треугольник, площадь которого можно вычислить по формуле:

Подставим значение $a = 6$:

Теперь, зная, что $h = 6$, находим объем:

Ответ: Объем призмы равен $54 \sqrt{3}$ см³, что примерно равно 93,53 см³.