Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом в 30 градусов. Найдите площадь полной поверхности призмы, если высота этой призмы 12√2 см.

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, нужно учесть несколько моментов: площадь двух оснований и площадь боковых граней.

1. Площадь двух оснований:
   Основания призмы — это квадрат, так как призма правильная. Пусть длина стороны основания квадрата равна $a$. Площадь одного основания будет $a^2$, а площадь двух оснований будет $2a^2$.

2. Площадь боковых граней:
   Боковые грани — это прямоугольники, каждый из которых имеет одну сторону, равную длине стороны квадрата основания, а другую сторону, равную высоте призмы $h$. Площадь одной боковой грани будет $a \cdot h$, и таких граней 4. Общая площадь боковых граней будет $4ah$.

3. Связь между углом наклона диагонали и высотой:
   Диагональ основания квадрата будет равна $a\sqrt{2}$, так как диагональ квадрата связана с его стороной через теорему Пифагора. Из условия задачи известно, что диагональ наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Это означает, что высота призмы $h$ и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник, где:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{h}{a\sqrt{2}}.$$

   Из этого уравнения найдём $h$:

   $$\frac{1}{2} = \frac{h}{a\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

   Нам дано, что высота призмы $h = 12\sqrt{2}$, подставляем это в уравнение:

   $$12\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

   Умножаем обе стороны на 2:

   $$24\sqrt{2} = a\sqrt{2}.$$

   Разделим обе стороны на $\sqrt{2}$:

   $$a = 24.$$

4. Площадь полной поверхности:
   Теперь, когда мы знаем, что $a = 24$, можем вычислить площадь полной поверхности призмы. Площадь двух оснований:

   $$2a^2 = 2 \cdot 24^2 = 2 \cdot 576 = 1152.$$

   Площадь боковых граней:

   $$4ah = 4 \cdot 24 \cdot 12\sqrt{2} = 1152\sqrt{2}.$$

   Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет:

   $$1152 + 1152\sqrt{2}.$$