В правильной треугольной пирамиде боковая грань составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если апофема боковой грани равна 4.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду. В основании лежит равносторонний треугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Пусть:

• $S$ — вершина пирамиды;

• $ABC$ — основание;

• $M$ — середина стороны основания, например $AB$;

• $O$ — центр основания.

Апофема боковой грани — это высота бокового треугольника, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания. Значит,

Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $60^\circ$. Этот угол удобно рассматривать в сечении, перпендикулярном стороне основания $AB$. В таком сечении получаем прямоугольный треугольник $SOM$, где:

• $SM = 4$ — апофема боковой грани;

• $OM$ — радиус вписанной окружности основания;

• $\angle SMO = 60^\circ$.

Тогда

Так как

получаем:

Значит, радиус вписанной окружности равностороннего треугольника основания равен $2$.

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой:

где $a$ — сторона основания. Подставим $r = 2$:

Отсюда:

Теперь найдем площадь основания:

Подставляем $a = 4\sqrt3$:

Площадь одной боковой грани равна:

Боковых граней три, значит площадь боковой поверхности:

Полная поверхность равна сумме площади основания и боковой поверхности:

Ответ: